Uno degli errori più frequenti nel calcolo matematico riguarda l’interpretazione errata dell’ordine delle operazioni. Molte persone, durante la scuola così come nella vita quotidiana, scivolano su quello che può sembrare un dettaglio insignificante: l’esatta sequenza in cui si devono eseguire le operazioni all’interno di una stessa espressione. Questo equivoco, tuttavia, può cambiare radicalmente il risultato di qualsiasi calcolo, dai problemi più semplici ai più avanzati algoritmi. Vediamo insieme perché così spesso si sbaglia e quali sono le regole fondamentali che ogni calcolatore umano (o macchina) deve rispettare.
L’origine dell’errore: una regola spesso trascurata
Quando ci si trova di fronte a un’operazione come 8 + 2 × 5, molte persone sono portate ad eseguire prima l’addizione (8 + 2 = 10) e poi la moltiplicazione (10 × 5 = 50). In realtà, il risultato corretto è 18, perché la moltiplicazione ha priorità sull’addizione. Questo fraintendimento deriva da una comprensione superficiale delle regole di base che guidano la manipolazione delle espressioni matematiche.
Il principio alla base è racchiuso nella cosiddetta regola PEMDAS, nota anche con altri acronimi come BODMAS. Il significato delle lettere è il seguente: Parentesi, Esponenti, Moltiplicazione, Divisione, Addizione, Sottrazione. In sintesi, bisogna dare la priorità prima alle espressioni racchiuse tra parentesi, poi alle potenze, e quindi a moltiplicazione/divisione e, solo alla fine, ad addizione e sottrazione. Questo ordine va rispettato scrupolosamente per non incorrere negli errori più comuni e diffusi.
Parentetizzazione, potenze e priorità: i passi giusti per ogni calcolo
Un errore molto diffuso consiste nel ignorare o mal interpretare il ruolo delle parentesi. Le parentesi obbligano a risolvere prima le operazioni al loro interno, modificando eventualmente la sequenza standard. Ad esempio, nell’espressione 5 + 2 × 12, si dovrà innanzitutto calcolare la moltiplicazione (2 × 12 = 24) per poi addizionare 5. Se, invece, scrivessimo (5 + 2) × 12, il risultato diverrebbe 7 × 12 = 84, mostrando chiaramente come la posizione e l’uso delle parentesi siano determinanti.
Un altro errore frequente riguarda il trattamento delle potenze: la regola pretende che le potenze (esponenti) vengano risolte prima delle moltiplicazioni o divisioni. Ad esempio, nell’espressione 2 + 32 × 4 il calcolo corretto è 2 + (32) × 4 = 2 + 9 × 4 = 2 + 36 = 38. Dimenticare questa precedenza porta rapidamente a errori, soprattutto con operazioni concatenate.
Moltiplicazione e divisione: esecuzione da sinistra a destra
Un aspetto che spesso genera dubbio riguarda le moltiplicazioni e le divisioni. Secondo la regola PEMDAS/BODMAS, queste operazioni godono di pari priorità. Quando una espressione contiene sia moltiplicazioni che divisioni, la regola dice che bisogna procedere da sinistra verso destra. Ad esempio, nell’espressione 8 ÷ 2 × 4, si esegue prima la divisione (8 ÷ 2 = 4) e poi si moltiplica il risultato per 4, ottenendo 16. Contrariamente, risolvere prima la moltiplicazione porterebbe a un risultato sbagliato.
La medesima regola vale per addizione e sottrazione: anch’esse possiedono la stessa priorità e vanno eseguite dando la precedenza a quella che compare per prima da sinistra a destra nell’espressione.
Esempi tipici di errori comuni
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9 + 3 × 2
Molti calcolano prima 9 + 3 = 12, poi 12 × 2 = 24. Risposta corretta: 3 × 2 = 6, quindi 9 + 6 = 15. -
8 ÷ 2 × 4
La divisione viene prima della moltiplicazione solo perché appare prima da sinistra: 8 ÷ 2 = 4; poi 4 × 4 = 16. -
2 + 32 × 4
L’esponente si calcola prima della moltiplicazione: 32 = 9; poi 9 × 4 = 36; e infine 2 + 36 = 38.
Perché si sbaglia: abitudine, ansia, scarsa attenzione alle regole
Alla radice di questi errori c’è spesso una cultura del calcolo mnemonico, dove si mancano di consolidare i principi alla base delle operazioni. L’apprendimento spesso superficiale porta a saltare passaggi chiave, o a generalizzare regole valide solo in particolari contesti, come la semplice sequenza da sinistra a destra.
Un altro elemento di confusione è dato dal linguaggio naturale stesso. In italiano, così come in altre lingue, la costruzione delle frasi può portare fuori strada. Una richiesta come “cinque più due dozzine” suggerisce intuitivamente di sommare prima (5 + 2) e poi di moltiplicare per 12, mentre l’operazione corretta è 5 + (2 × 12) = 29.
La presenza di ambiguità nell’ordine delle operazioni rimane uno dei principali motivi di difficoltà anche per chi si trova in ambiti lavorativi che richiederebbero maggiore sicurezza nel calcolo.
Come evitare errori: strategie e regole pratiche
Per superare questi ostacoli e evitare errori nei calcoli, è fondamentale:
- Imparare e ripassare costantemente la regola PEMDAS/BODMAS, vera guida universale nei calcoli matematici più diffusi.
- Utilizzare correttamente parentesi ogni volta che si ha un dubbio sull’effettivo ordine di esecuzione di una parte del calcolo.
- Scomporre le espressioni complesse in step intermedi aiutandosi con la scrittura di ogni singolo passaggio.
- Prendere l’abitudine di rivedere il lavoro svolto, soprattutto se il risultato appare insolito o eccessivamente distante dalle aspettative.
- Abituarsi al controllo della logica del risultato: se il risultato di una sequenza di calcoli non ha senso, tornare sui propri passi e verificare ogni passaggio.
Inoltre, nelle situazioni di proporzionalità o calcolo percentuale, è bene non affidarsi solo agli algoritmi tradizionali come la regola del tre, ma comprendere il significato profondo delle operazioni svolte.
Infine, la padronanza dell’ordine delle operazioni rappresenta una delle basi della matematica ed è fondamentale per operare consapevolmente sia durante il percorso scolastico che nella vita di tutti i giorni. Un controllo accurato dell’operazione, unito all’uso mirato delle parentesi e delle regole di priorità, consente di azzerare l’errore e di giungere sempre al risultato corretto, evitando le trappole più insidiose del calcolo automatico o della distrazione.
